Sistemas de ecuaciones lineales
Recuerda
Como reconozco una línea recta a partir de su ecuación
Es una ecuación de grado uno, y nosotros en este momento, particularmente trabajaremos la línea recta en el plano cartesiano, ósea en dos dimensiones. La dimensión, o el espacio dimensional, en el cuál se encuentra una ecuación lo da, la cantidad de variables que tenga dicha ecuación.
Ecuación general de la línea recta
La ecuación genérica de la línea recta es Y = mX + b a continuación se destacan sus elementos.
Qué es un sistema de ecuaciones lineales
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado)
Tamaño de un sistema de ecuaciones lineales
El tamaño de un sistema de ecuaciones lineales, lo determina la cantidad de variables que haya en el sistema, es decir, la cantidad de variables que yo vea en todas las ecuaciones, sin embargo, cada una de las ecuaciones, no tiene que tener todas las variables en ella. A continuación se pone un ejemplo, de un sistema de ecuaciones lineales.
Como se observa en el sistema de ecuaciones lineales anterior, este consta de 3 ecuaciones, donde cada ecuación, se encuentra en una fila, y podemos ver que cada ecuación tiene 3 variables, que en el caso de la primera fila, son x, y, z, pero sin embargo, en las siguientes 2 filas, también las ecuaciones tienen las mismas 3 variables, así debe ser. En este caso decimos que el sistema es 3x3, porque tiene 3 ecuaciones, y las 3 ecuaciones, tienen las mismas 3 variables, esta es una condición necesaria, que las variables sean las mismas en las 3 ecuaciones. los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser de cualquier tamaño 3x3, 4x4, 5x5, etc, pero sin embargo, nosotros solo trabajaremos el tamaño 2x2, es decir, sistemas en los cuales, tendremos 2 ecuaciones con 2 incógnitas, y además, las variables siempre las llamaremos x y y, aunque las variables pueden tomar cualquier nombre, las llamaremos así.
Como se resuelve un sistema de ecuaciones lineales
Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, nosotros trabajaremos 3 métodos en este curso, que serán, el de igualación, sustitución, y el de reducción, después de eso, es conveniente que el estudiante, domine alguno de los 3, yo les sugeriría el de reducción.
Objetivo de un sistema de ecuaciones lineales
El objetivo de un sistema de ecuaciones lineales, es encontrar el punto de corte entre las rectas del sistema, como para nuestro caso solo trabajaremos sistemas 2x2, el espacio dimensional, que lo determina la cantidad de variables en una ecuación, quedará limitado al un espacio bidimensional, que nosotros representaremos en el plano cartesiano. por lo tanto la intersección de nuestras 2 rectas, solo tendrá 2 coordenadas, una en x y otra en y, es decir un punto en el plano con coordenadas (x,y), dado que las variables de nuestros sistemas, siempre las llamaremos x y y. Resumiendo, el objetivo de un sistema 2x2, es encontrar los valores de x y de y, que serán las coordenadas del punto de corte entre las 2 rectas.
Método de sustitución
Dado que los sistemas que trabajaremos son 2x2, lo que haremos en el método de sustitución, es despejar una de las variables en alguna de las 2 ecuaciones, y reemplazar el valor de dicha variable en la otra ecuación, por el valor hallado. Al hacer esto, la nueva ecuación, es decir la ecuación resultante de haber hecho esta sustitución, ya queda con solo una variable, por lo tanto esta será una ecuación de primer grado con una incógnita, que ya la podremos resolver, por los métodos que ya conocemos, al hacerlo, obtenemos el valor de la variable de esta última ecuación, con este valor podemos hallar el valor de la otra variable, en cualquier ecuación que tenga las 2 variables iniciales, se sugiere que sea en la ecuación que se despejo, y así se hallan los valores de la coordenada del punto de corte de las 2 rectas, que es lo que se esta buscando.
Pasos para el método de sustitución
-
Despejar una de las variables en alguna de las 2 ecuaciones.
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Reemplazar el valor de dicha variable en la otra ecuación, por el valor hallado.
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Resolver la ecuación del paso anterior.
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Con el valor hallado de la variable del paso anterior, hallar el valor de la otra variable, en cualquier ecuación que tenga las 2 variables iniciales, se sugiere que sea en la ecuación que se despejo.
-
Graficar las 2 rectas
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Por facilidad para ustedes, nombraremos las ecuaciones, para que las puedan referenciar, cuando se este trabajando con ellas. por lo tanto nombraremos a la de la primera fila, como ecuación 1, y a la de la segunda fila, como ecuación 2, y a medida que vayan apareciendo otras, se les podría ir nombrando como 3, 4, y así sucesivamente.
solución del sistema anterior por este método, paso a paso
A continuación se presenta un vídeo ilustrativo, de como se resuelven sistemas de ecuaciones por sustitución
Presiona el siguiente botón, si quieres ir hacer practicas interactivas, sobre solución de sistemas de ecuaciones lineales, por el método de sustitución
Ejercicios para fortalecer lo aprendido,
resolver los siguientes sistemas por sustitución y graficar
Atención
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Método de igualación
Dado que los sistemas que trabajaremos son 2x2, lo que haremos en el método de igualación, es despejar la misma variable en las 2 ecuaciones, y luego igualamos esas 2 expresiones quedando así una ecuación con una sola variable, por lo tanto esta será una ecuación de primer grado con una incógnita, que ya la podremos resolver, por los métodos que ya conocemos, al hacerlo, obtenemos el valor de la variable de esta última ecuación, con este valor podemos hallar el valor de la otra variable, en cualquier ecuación que tenga las 2 variables iniciales, se sugiere que sea en una de las ecuaciones que se despejo previamente, y así se hallan los valores de la coordenada del punto de corte de las 2 rectas, que es lo que se esta buscando.
Pasos para el método de igualación
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Despejar la misma variable en ambas ecuaciones.
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Igualar ambas expresiones.
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Resolver la ecuación del paso anterior.
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Con el valor hallado de la variable del paso anterior, hallar el valor de la otra variable, en cualquier ecuación que tenga las 2 variables iniciales, se sugiere que sea en una de las ecuaciones que se despejo previamente.
-
Graficar las 2 rectas
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Por facilidad para ustedes, nombraremos las ecuaciones, para que las puedan referenciar, cuando se este trabajando con ellas. por lo tanto nombraremos a la de la primera fila, como ecuación 1, y a la de la segunda fila, como ecuación 2, y a medida que vayan apareciendo otras, se les podría ir nombrando como 3, 4, y así sucesivamente.
solución del sistema anterior por este método, paso a paso
A continuación se presenta un vídeo ilustrativo, de como se resuelven sistemas de ecuaciones por igualación
Presiona el siguiente botón, si quieres ir hacer practicas interactivas, sobre solución de sistemas de ecuaciones lineales, por el método de igualación
Ejercicios para fortalecer lo aprendido,
resolver los siguientes sistemas por igualación y graficar
Atención
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Método de reducción
Dado que los sistemas que trabajaremos son 2x2, lo que haremos en el método de reducción, es igualar los coeficientes de alguna de las 2 variables, multiplicando por el, o por los coeficientes, que sean necesarios para conseguir este objetivo, luego de que tengamos iguales los coeficientes de alguna de las variables, debemos sumar o restar las ecuaciones para eliminar la variable que tenga los coeficientes iguales. Al hacer esto, la nueva ecuación, es decir la ecuación resultante de haber sumado o restado ambas ecuaciones, ya queda con solo una variable, por lo tanto esta será una ecuación de primer grado con una incógnita, que ya la podremos resolver, por los métodos que ya conocemos, al hacerlo, obtenemos el valor de la variable de esta última ecuación, con este valor podemos hallar el valor de la otra variable, en cualquier ecuación que tenga las 2 variables iniciales, y así se hallan los valores de la coordenada del punto de corte de las 2 rectas, que es lo que se esta buscando.
Pasos para el método de reducción
-
Igualar los coeficientes de alguna de las 2 variables, multiplicando por el, o por los coeficientes, que sean necesarios para conseguir este objetivo.
-
Sumar o restar las ecuaciones para eliminar la variable que tenga los coeficientes iguales.
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Resolver la ecuación del paso anterior.
-
Con el valor hallado de la variable del paso anterior, hallar el valor de la otra variable, en cualquier ecuación que tenga las 2 variables iniciales.
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Graficar las 2 rectas
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Por facilidad para ustedes, nombraremos las ecuaciones, para que las puedan referenciar, cuando se este trabajando con ellas. por lo tanto nombraremos a la de la primera fila, como ecuación 1, y a la de la segunda fila, como ecuación 2, y a medida que vayan apareciendo otras, se les podría ir nombrando como 3, 4, y así sucesivamente.
solución del sistema anterior por este método, paso a paso
A continuación se presenta un vídeo ilustrativo, de como se resuelven sistemas de ecuaciones por reducción
Presiona el siguiente botón, si quieres ir hacer practicas interactivas, sobre solución de sistemas de ecuaciones lineales, por el método de reducción
Ejercicios para fortalecer lo aprendido,
resolver los siguientes sistemas por reducción y graficar
Atención
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